三维计算几何基础

三维几何的很多概念与 二维几何 是相通的，我们可以用与解决二维几何问题相同的方法来解决三维几何问题。

基本概念

点，向量，直线这些概念和二维几何是相似的，这里不再展开。

平面

我们可以用平面上的一点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 和该平面的法向量（即垂直于该平面的向量）$\mathit{n}$ 来表示一个平面。

因为 $\mathit{n}$ 垂直于平面，所以 $\mathit{n}$ 垂直于该平面内的所有直线。换句话说，设 $\mathit{n}=(A,B,C)$，则该平面上的点 $P(x,y,z)$ 都满足 $\mathit{n}\cdot \overrightarrow{P{P}_0}=0$。

根据向量点积的定义，上式等价于：

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

整理后得到：

$$Ax+By+Cz-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)=0$$

令 $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$，则上式变成 $Ax+By+Cz+D=0$。我们称这个式子为平面的 一般式。

基本操作

直线、平面之间的夹角

运用空间向量的知识，空间中直线、平面之间的夹角可以很快求出。

对于两条异面直线 $a$，$b$，过空间中一点 $P$，作 $a^{\prime }\parallel a$，$b^{\prime }\parallel b^{\prime }$，则 $a^{\prime }$ 与 $b^{\prime }$ 所成的锐角或直角被称为 $a$ 和 $b$ 两条 异面直线所成的角。

对于直线 $a$ 和平面 $\alpha$，若 $a$ 与 $\alpha$ 相交于 $A$，过 $a$ 上一点 $P$ 引平面 $\alpha$ 的垂线交 $\alpha$ 于 $O$，则 $a$ 与 $PO$ 所成角的余角被称为 直线与平面所成的角。特别地，若 $a\parallel \alpha$ 或 $a\subset \alpha$，则它们之间的夹角为 $0^{\circ }$。

对于两个平面 $\alpha$，$\beta$，它们的夹角被定义为与两条平面的交线 $l$ 垂直的两条直线 $a,b$（其中 $a\subset \alpha$，$b\subset \beta$）所成的角。

两直线夹角定义与关系充要条件

• 两直线的方向向量的夹角，叫做两直线的夹角。

有了这个命题，我们就可以得出以下结论：已知两条直线 $l_1,l_2$，它们的方向向量分别是 $s_1(m_1,n_1,p_1)$，$s_2(m_2,n_2,p_2)$，设 $\phi$ 为两直线夹角，我们可以得到 $\cos \phi ={\displaystyle \frac{|m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}}$.

• $l_1⟂l_2⟺m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2=0$

• $l_1\parallel l_2⟺{\displaystyle \frac{m_1}{m_2}}={\displaystyle \frac{n_1}{n_2}}={\displaystyle \frac{p_1}{p_2}}$.

三维向量与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 $\phi$（$\phi \in [0,\frac{\pi }{2}]$）称为直线与平面的夹角。

设直线向量 $s(m,n,p)$，平面法线向量 $f(a,b,c)$，那么以下命题成立：

• 角度的正弦值：$\sin \phi ={\displaystyle \frac{|am+bn+cp|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}}$

• 直线与平面平行 $⟺am+bn+cp=0$

• 直线与平面垂直 $⟺{\displaystyle \frac{a}{m}}={\displaystyle \frac{b}{n}}={\displaystyle \frac{c}{p}}$

点到平面的距离

直线与平面的交点

直接联立直线方程和平面方程即可。

立体几何定理

三正弦定理

设二面角 $M－AB－N$ 的度数为 $\alpha$，在平面 $M$ 上有一条射线 $AC$，它和棱 $AB$ 所成角为 $\beta$，和平面 $N$ 所成的角为 $\gamma$，则 $\sin \gamma =\sin \alpha \cdot \sin \beta$。

三余弦定理

设 $O$ 为平面上一点，过平面外一点 $B$ 的直线 $BO$ 在面上的射影为 $AO$，$OC$ 为面上的一条直线，那么 $\mathrm{\angle }COB，\mathrm{\angle }AOC，\mathrm{\angle }AOB$ 三角的余弦关系为：$\cos \mathrm{\angle }BOC=\cos \mathrm{\angle }AOB\cdot \cos \mathrm{\angle }AOC$（$\mathrm{\angle }AOC$，$\mathrm{\angle }AOB$ 只能是锐角）。

参考资料

• 3D 空间基础概念之一：点、向量（矢量）和齐次坐标

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