Jordan标准型

Jordan 分解

设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 上的一个线性变换。如果 $T$ 的最小多项式为：

m_{A} (λ) = {(λ - λ_{1})}^{r_{1}} {(λ - λ_{2})}^{r_{2}} \dots {(λ - λ_{k})}^{r_{k}}

那么由准素分解可知，空间 $V$ 可以分解为子空间的直和：

V = V_{1} \oplus V_{2} \oplus \dots \oplus V_{k}

其中 $V_{i} = N ({(A - λ_{i} I)}^{r_{i}})$ ，式中 $A$ 为 $T$ 对应的矩阵，这些子空间都在 $T$ 作用下不变。

令变换 $T_{i}$ 为 $V$ 在子空间 $V_{i}$ 上的射影，即构造多项式 $u_{i} (T)$ 使得：

$T_{i} = u_{i} (T) \frac{m_{A} (T)}{{(T - λ_{i} T_{e})}^{r_{i}}}$
$T_{1} + T_{2} + \dots + T_{k} = T_{e}$

式中 $T_{e}$ 表示空间 $V$ 的恒等变换。于是有性质：

变换 $T_{i}$ 在空间 $V_{i}$ 上的限制 ${T_{i} |}_{V_{i}}$ 为空间 $V_{i}$ 的恒等变换。
如果 $i$ 与 $j$ 不相等，变换 $T_{i}$ 在空间 $V_{j}$ 上的限制 ${T_{i} |}_{V_{j}}$ 为空间 $V_{j}$ 的零变换。

于是变换 $T_{i}$ 将空间 $V$ 的每一个向量 $ξ$ 映射为它在空间 $V_{i}$ 中的分量 $ξ_{i}$ 。

构造变换：

T_{D} = λ_{1} T_{1} + λ_{2} T_{2} + \dots + λ_{k} T_{k}

由于每一个变换 $T_{i}$ 都是变换 $T$ 的一个多项式，所以变换 $T_{D}$ 也是变换 $T$ 的一个多项式，于是每一个子空间 $V_{i}$ 在变换 $T_{D}$ 下不变。

由上述等式可知，变换 $T_{D}$ 在子空间 $V_{i}$ 上的限制 ${T_{D} |}_{V_{i}}$ 是子空间 $V_{i}$ 的一个位似，位似系数为 $λ_{i}$ 。因此，变换 $T_{D}$ 可以对角化。

构造：

T_{N} = T - T_{D}

于是变换 $T_{N}$ 也是变换 $T$ 的一个多项式，所以每一个子空间 $V_{i}$ 在变换 $T_{N}$ 下不变。对于子空间 $V_{i}$ 中的任意向量 $ξ_{i}$ ，有：

{T_{N}}^{r_{i}} (ξ_{i}) = {T - T_{D}}^{r_{i}} (ξ_{i}) = {T - λ_{i} T_{i}}^{r_{i}} (ξ_{i}) = 0

令 $r$ 为全体 $r_{i}$ 的最大值，那么对于空间 $V$ 中的任意向量 $ξ$ ，变换 $T_{N}$ 的 $r$ 次方将向量 $ξ$ 映射至零向量。因此变换 $T_{N}$ 是一个幂零变换。

这样，空间 $V$ 的每一个变换 $T$ 都可以写成：

T = T_{D} + T_{N}

其中 $T_{D}$ 可以对角化，而 $T_{N}$ 是一个幂零变换。因为 $T_{D}$ 和 $T_{N}$ 都是变换 $T$ 的多项式，所以它们的乘积可交换：

T_{D} T_{N} = T_{N} T_{D}

定理：设 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 是空间 $V$ 的两个可对角化变换，且 $T_{1} T_{2} = T_{2} T_{1}$ ，那么存在一个基，使得 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 关于这同一个基的矩阵是对角形式。

定理：设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 上的一个线性变换，那么存在一个可对角化变换 $T_{D}$ 和一个幂零变换 $T_{N}$ ，使得：

$T = T_{D} + T_{N}$
$T_{D} T_{N} = T_{N} T_{D}$

它们都是变换 $T$ 的多项式，并且它们由变换 $T$ 唯一确定。

该定理给出关于变换 $T$ 的分解，称为 $T$ 的若尔当（Jordan）分解， $T_{D}$ 叫做 $T$ 的可对角化部分， $T_{N}$ 叫做 $T$ 的幂零部分。

同样地，有矩阵的 Jordan 分解：

定理：设 $A$ 是一个 $n$ 阶矩阵，那么存在一个可对角化矩阵 $D$ 和一个幂零矩阵 $N$ ，使得：

$A = D + N$
$D N = N D$

它们都是矩阵 $A$ 的多项式，并且它们由矩阵 $A$ 唯一确定。

该定理给出关于矩阵 $A$ 的分解，称为 $A$ 的若尔当（Jordan）分解， $D$ 叫做 $A$ 的可对角化部分， $N$ 叫做 $A$ 的幂零部分。

lambda 矩阵

接下来引入的部分是含有变元参量 $λ$ 的更广义的矩阵，不仅仅是一个数表。这部分讨论相较单纯由数构成的矩阵而言，更加广泛一些。

对于 $λ$ 矩阵，对应空间相应的域，变为含有一个变元 $λ$ 的有理式域。

以 $λ$ 的多项式为元素的矩阵称为 $λ$ 矩阵，记为 $A (λ)$ 。

由于多项式域包含数域，数字矩阵是特殊的 $λ$ 矩阵，数字矩阵 $A$ 的特征矩阵 $λ I - A$ 是一种 $λ$ 矩阵。

lambda 矩阵的初等变换

对于 $λ$ 矩阵，同样可以定义加减法、乘法、初等变换、秩。对于 $λ$ 方阵，同样可以定义行列式、余子式、代数余子式。

对于 $λ$ 矩阵，初等变换与数阵大多相同，仅将倍加变换改为（这里以行变换为例）：

用 $λ$ 的多项式 $φ (λ)$ 乘某行并加到另一行上。

注意倍乘变换不进行修改。这是因为倍加变换不改变行列式，而倍乘变换改变行列式。为了保持多项式域的秩的性质，行列式只能在数域上进行改变。

相应的初等矩阵也一并进行修改。

易见三种初等阵的行列式均为非零常数，因此均为满秩。所以它们左乘或右乘，不改变 $λ$ 矩阵的秩。

若 $A (λ)$ 经过有限次初等变换变为 $B (λ)$ ，则称 $A (λ)$ 和 $B (λ)$ 等价。

对于 $λ$ 矩阵，如果等价，则秩相同。反之则不然，这与数字矩阵有区别。

Smith 标准型

定理：设 $λ$ 矩阵的秩是 $r$ ，则 $A (λ)$ 一定等价于：

(\begin{matrix} D (λ) & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

其中：

D (λ) = (\begin{matrix} d_{1} (λ) \\ ⋱ \\ d_{r} (λ) \end{matrix})

每一个 $d_{i} (λ)$ 是一个首 $1$ 多项式，并且相邻两个多项式有整除关系 $d_{i} (λ) | d_{i + 1} (λ)$ 。

称此标准型为 Smith 标准型，称 $d_{i} (λ)$ 为不变因子。

具体求解 Smith 标准型的办法是，从左上角到右下角进行消元，每次左上角的元素是右下方剩余的全体多项式的最大公因式，并借助左上角的元素将该行该列全部消为 $0$ 。

定理：条件 $A (λ)$ 和 $B (λ)$ 等价，等价于条件 $A (λ)$ 和 $B (λ)$ 拥有完全一样的不变因子。

初等因子

由代数基本定理，设 $A (λ)$ 的不变因子 $d_{1} (λ), d_{2} (λ), \dots, d_{m} (λ)$ 的分解为：

d_{i} (λ) = {(λ - λ_{1})}^{e_{i 1}} {(λ - λ_{2})}^{e_{i 2}} \dots {(λ - λ_{S})}^{e_{i S}}

其中 $λ_{1}, \dots, λ_{S}$ 互不相同。由于：

d_{i} (λ) | d_{i + 1} (λ)

因此指数 $e_{1 j}, e_{2 j}, \dots, e_{m j}$ 递增，并且最后一项 $d_{m} (λ)$ 的各项指数均非零。

上式中指数大于零的全部因子，统称为 $A (λ)$ 的初等因子。

注意，初等因子计重数。如果对于某个 $j$ ，指数 $e_{i j}$ 出现了若干次，则对应的初等因子 ${(λ - λ_{j})}^{e_{i j}}$ 也应当出现相应次数。

之前的定理说明， $A (λ)$ 与 $B (λ)$ 等价，等价于他们两个拥有完全一致的不变因子。不变因子完全相同，自然初等因子也完全相同，但是反之则不然。事实上有结论：

定理： $A (λ)$ 与 $B (λ)$ 不变因子完全相同，等价于初等因子和秩均完全相同。

于是「初等因子和秩均完全相同」也成为判断 $λ$ 矩阵等价性的条件。

在初等变换的时候，也可以先将 $A (λ)$ 变换为对角阵，再求出初等因子和秩，再求出不变因子得到标准型。有结论：

定理：设 $A (λ)$ 等价于对角阵：

diag {f_{1} (λ), f_{2} (λ), \dots, f_{r} (λ), 0, \dots, 0}

那么有 $f_{1} (λ), f_{2} (λ), \dots, f_{r} (λ)$ 的全体一次因子的幂 ${(λ - λ_{j})}^{e_{i j}}$ ，构成 $A (λ)$ 的初等因子。

由初等因子和秩构造不变因子的具体方法为：先将初等因子按照因式分类，排成表格，把同类因式进行降幂排列放到同一行，各类因式的最高次幂放到一列，把列数用 $1$ 补齐至秩 $r$ ，那么每一列的乘积构成一个不变因子。

在特征矩阵中的应用

如果 $A$ 与 $B$ 是数阵，那么它们的特征矩阵是 $λ$ 矩阵。有结论：

定理：条件数阵 $A$ 与 $B$ 相似，等价于条件特征矩阵 $λ I - A$ 和 $λ I - B$ 等价。

由于特征矩阵 $λ I - A$ 只在主对角线含有 $n$ 个 $λ$ ，所以秩为 $n$ 。由上述推理，同型的数阵的特征矩阵的秩始终相等，于是有等价性：

数阵 $A$ 与 $B$ 相似，等价于特征矩阵 $λ I - A$ 和 $λ I - B$ 有完全相同的初等因子。

对于特征矩阵 $λ I - A$ ，初等变换保持等价性，所以不改变秩。

观察三种初等变换，由于唯一被改写的倍加变换不改变行列式，事实上三种初等变换仅对行列式的结果多项式改变常数倍，因此不改变行列式的结果多项式的因式分解与次数。

因此特征矩阵 $λ I - A$ 的行列式为 $n$ 次多项式，初等变换化为 Smith 标准型后，由于秩为 $n$ ，行列式就是主对角线全体不变因子的乘积，也等于全体初等因子的乘积。因此，特征矩阵 $λ I - A$ 的全体初等因子的次数之和等于 $n$ 。

Jordan 标准型

矩阵

(\begin{matrix} λ & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & λ \end{matrix})

主对角线上的元素都是 $λ$ ，紧邻主对角线上方的元素都是 $1$ ，其余位置都是 $0$ ，叫做属于 $λ$ 的一个 Jordan 矩阵，或称 Jordan 块。

显然，幂零 Jordan 矩阵是 Jordan 矩阵的特例，即 $λ$ 为 $0$ 的情形。

定理：设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的一个变换， $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ 是 $T$ 的一切互不相同的特征值，那么存在一个基，使得 $T$ 关于这个基的矩阵有形状：

(\begin{matrix} B_{1} & 0 \\ B_{2} \\ ⋱ \\ 0 & B_{k} \end{matrix})

其中

B_{i} = (\begin{matrix} J_{i 1} & 0 \\ J_{i 2} \\ ⋱ \\ 0 & J_{i s_{i}} \end{matrix})

其中 $J_{i 1}, \dots, J_{i s_{i}}$ 都是属于 $λ_{i}$ 的 Jordan 块。

这是因为，首先根据最小多项式：

m_{A} (λ) = {(λ - λ_{1})}^{r_{1}} {(λ - λ_{2})}^{r_{2}} \dots {(λ - λ_{k})}^{r_{k}}

有准素分解：

V = V_{1} \oplus V_{2} \oplus \dots \oplus V_{k}

其中：

V_{i} = N ({(A - λ_{i} I)}^{r_{i}})

式中 $A$ 为 $T$ 对应的矩阵。

令变换 $S_{i}$ 为 $T$ 在 $V_{i}$ 上的限制 ${T |}_{V_{i}}$ ，接下来试图对每一个 $S_{i}$ 进行 Jordan 分解。

记 $T_{e}$ 为 $V$ 上的恒等变换。与前文的 Jordan 分解不同，记 $T_{i}$ 为 $S_{i}$ 的 Jordan 分解中的幂零部分：

S_{i} = λ_{i} T_{e} + T_{i}

于是 $T_{i}$ 为子空间 $V_{i}$ 的一个幂零变换，事实上也是 $T - λ_{i} T_{e}$ 在 $V_{i}$ 上的限制 ${(T - λ_{i} T_{e}) |}_{V_{i}}$ 。

子空间 $V_{i}$ 可以分解为幂零变换 $T_{i}$ 循环子空间的直和：

V_{i} = W_{i 1} \oplus W_{i 2} \oplus \dots \oplus W_{i s_{i}}

在每一个循环子空间 $W_{i j}$ 里，取一个循环基并倒序排列，凑成 $V_{i}$ 的一个基，于是 $T_{i}$ 关于这个基的矩阵有形状：

N_{i} = (\begin{matrix} N_{i 1} & 0 \\ N_{i 2} \\ ⋱ \\ 0 & N_{i s_{i}} \end{matrix})

全体 $N_{i j}$ 均为幂零 Jordan 块。于是对于 $V_{i}$ 上述选取的基， $S_{i}$ 对应的矩阵是：

B_{i} = (\begin{matrix} λ_{i} & 0 \\ λ_{i} \\ ⋱ \\ 0 & λ_{i} \end{matrix}) + (\begin{matrix} N_{i 1} & 0 \\ N_{i 2} \\ ⋱ \\ 0 & N_{i s_{i}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} J_{i 1} & 0 \\ J_{i 2} \\ ⋱ \\ 0 & J_{i s_{i}} \end{matrix})

这里 $J_{i 1}, J_{i 2}, \dots, J_{i s_{i}}$ 都是属于 $λ_{i}$ 的 Jordan 块。

对于每一个子空间 $V_{i}$ ，按照以上方式选取一个基，凑起来成为 $V$ 的基，那么 $T$ 关于这个基的矩阵即构成定理规定的形式。

形如：

(\begin{matrix} J_{1} & 0 \\ J_{2} \\ ⋱ \\ 0 & J_{m} \end{matrix})

的 $n$ 阶矩阵，其中每一个 $J_{i}$ 都是一个 Jordan 块，叫做一个 Jordan 标准型。

定理：每一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 都与一个 Jordan 标准型相似。除了各个 Jordan 块排列的次序以外，与 $A$ 相似的 Jordan 标准型是由 $A$ 唯一确定的。

注意在上述构造的矩阵 $B_{i}$ 中，第一项是一个单位阵的若干倍，自然可以和第二项交换。因此，第一项就是 $B_{i}$ 的 Jordan 分解的可对角化部分，第二项就是 $B_{i}$ 的 Jordan 分解的幂零部分。

在一个矩阵对应的 Jordan 标准型里面，主对角线上的元素构成的对角阵是这个矩阵对应的 Jordan 标准型的可对角化部分，把主对角线上的元素换成 $0$ 就得到这个矩阵对应的 Jordan 标准型的幂零部分。

定理：对于矩阵 $A$ 的 Jordan 标准型中，每一个 Jordan 块：

J_{i} = (\begin{matrix} λ_{i} & 1 \\ λ_{i} & 1 \\ ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & 1 \\ λ_{i} \end{matrix})

对应于特征矩阵 $λ I - A$ 的一个初等因子 ${(λ - λ_{i})}^{n_{i}}$ ，特征矩阵 $λ I - A$ 的全体初等因子对应于矩阵 $A$ 的 Jordan 标准型中的全体 Jordan 块。

这是因为，矩阵 $A$ 相似于它的 Jordan 标准型，因此两者的特征矩阵也等价，将 Jordan 标准型的特征矩阵化为 Smith 标准型即可看出。

由这个定理，借助特征矩阵 $λ I - A$ 的初等因子，可以写出矩阵 $A$ 的 Jordan 标准型。

一个推论是，矩阵 $A$ 可对角化，等价于特征矩阵 $λ I - A$ 的初等因子均为一次的。

弗罗贝尼乌斯（Forbenious）定理

上文指出， $n$ 阶特征矩阵的 Smith 标准形的秩为 $n$ 。

定理：设矩阵 $A$ 的特征矩阵 $λ I - A$ 的 Smith 标准形为：

diag {d_{1} (λ), d_{2} (λ), \dots, d_{n} (λ)}

则最后一个不变因子 $d_{n} (λ)$ 恰好为矩阵 $A$ 的最小多项式 $m_{A} (λ)$ 。

推论：矩阵 $A$ 可对角化的等价条件为：

最小多项式 $m_{A} (λ)$ 无重根。
特征矩阵 $λ I - A$ 的不变因子无重根。
特征矩阵 $λ I - A$ 的初等因子均为一次的。

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