内积和外积

本文介绍向量之间的简单运算。

在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于「inner product」和「outer product」两个词汇有着五花八门的翻译。

在物理学科，一般翻译成「标积」和「矢积」，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上「数量积」和「向量积」也采用了这种意译的办法。

在数学学科，通常也可以翻译成「内积」和「外积」，是两个名词的直译。「点乘」和「叉乘」是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。

在「点乘」运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

内积

内积的概念 对于任意维数的向量都适用。

定义

内积有不同但等价的定义方法，下面介绍其中一些。

几何定义

在 $n$ 维欧氏空间 $R^{n}$ 下，已知两个向量 $a, b$ ，它们的夹角为 $θ$ ，那么：

a \cdot b = | a | | b | \cos θ

就是这两个向量的内积，也叫点积或 数量积。其中称 $| b | \cos θ$ 为 $b$ 在 $a$ 方向上的投影。内积的几何意义即为：内积 $a \cdot b$ 等于 $a$ 的模与 $b$ 在 $a$ 方向上的投影的乘积。

代数定义

在 $n$ 维欧氏空间 $R^{n}$ 下，已知两个向量 $a = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), b = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，那么：

a \cdot b = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}

就是这两个向量的内积，也叫点积或 数量积。内积的几何定义与代数定义在欧氏空间下是等价的，而后者更方便使用。

在不引起混淆的情况下，内积的点号可以省略不写。如果在向量的右上角有上角标 $2$ ，表示向量与自身内积的简写，即 向量模长的平方，省略模长记号。该上角标 $2$ 不可以理解为向量的平方，这是因为，向量内积的结果为标量，不存在除了 $2$ 以外任何个数的向量的内积。同理，向量模长平方的平方，不可以简写为上角标 $4$ ，而是必须将上角标 $2$ 的结果视为一个整体，以此类推。

性质

可以发现，内积得到的结果是一个标量，其特别之处在于，它是关于两个向量分别都线性的双线性运算。具体而言，内积满足：

\begin{aligned} (a + b) \cdot c & = a \cdot c + b \cdot c \\ a \cdot (b + c) & = a \cdot b + a \cdot c \\ (λ a) \cdot b & = λ (a \cdot b) \\ a \cdot (λ b) & = λ (a \cdot b) \end{aligned}

内积还满足交换律，即：

a \cdot b = b \cdot a

应用

下面介绍内积运算的一些常见应用。

判定两向量垂直：
$a ⟂ b ⟺ a \cdot b = 0$
即互相垂直的两个向量的内积，结果为 $0$ ；向量与零向量内积，结果为 $0$ 。如果使用内积为零作为垂直的定义，则可以得出零向量与任何向量都垂直。
判定两向量共线：
$\exists λ \in R (a = λ b) ⟺ | a \cdot b | = | a | | b |$
计算向量的模：
$| a | = \sqrt{a \cdot a}$
计算两向量的夹角：
$θ = \arccos \frac{a \cdot b}{| a | | b |}$

二阶与三阶行列式

二阶与三阶行列式，可以作为行列式的较为简单的情形特殊定义。在微积分的最后一个部分场论部分，格林公式用到了二阶行列式，高斯公式用到了点乘，斯托克斯公式用到了三阶行列式。

二阶行列式可以视为四元函数，其定义为：

| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c

三阶行列式可以视为九元函数，其定义为：

| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} | = a e i + d h c + g b f - a h f - d b i - g e c

一种特殊的记忆方法是采用「对角线法则」，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。

特别注意：四阶行列式展开后共有 24 项，并且副对角线一项的符号为正。如果强行应用三阶行列式的「对角线法则」，不仅项数不够，副对角线一项的符号也不正确，因此三阶行列式的「对角线法则」不适用于更高阶的行列式，更高阶的行列式也不适合使用直接展开法计算。

外积

外积是 三维向量特有的运算。

在物理学中，三维向量为默认与空间位置相关的向量，一律采用粗体表示。然而，物理学中与相对论相关的四维向量不会采用粗体，而是使用特殊的记号与下标。

在线性代数中，所有的向量都会用粗体表示，并且由于麻烦，并且线性代数中大多为向量与矩阵的运算，很难造成歧义，在手写时可以省略向量记号不写。

定义

外积有不同但等价的定义方法，下面介绍其中一些。

几何定义

在三维欧氏空间 $R^{3}$ 下，定义向量 $a, b$ 的外积为一个向量，记为 $a \times b$ ，其模与方向定义如下：

$| a \times b | = | a | | b | \sin ⟨ a, b ⟩$ ；
$a \times b$ 与 $a, b$ 都垂直，且 $a, b, a \times b$ 的方向符合右手法则。

注意到外积的模，联想到三角形面积计算公式 $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ ，可以发现外积的几何意义是： $| a \times b |$ 是以 $a, b$ 为邻边的平行四边形的面积。

代数定义

在三维欧氏空间 $R^{3}$ 下，定义向量 $a = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), b = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 的外积为一个向量 $c$ ，记作 $c = a \times b$ ，其结果可以使用三阶行列式表示：

| \begin{matrix} i & j & k \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{matrix} |

其中 $i, j, k$ 表示朝向为坐标轴 $x, y, z$ 的单位向量，并写在对应坐标处。展开得

\begin{aligned} c & = a \times b \\ = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}) i + (z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}) j + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) k \\ = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) \end{aligned}

性质

外积是关于两个向量分别都线性的双线性运算。具体而言，外积满足：
$\begin{aligned} (a + b) \times c & = a \times c + b \times c \\ a \times (b + c) & = a \times b + a \times c \\ (λ a) \times b & = λ (a \times b) \\ a \times (λ b) & = λ (a \times b) \end{aligned}$
前两行性质亦可称为分配律，即外积对于向量加法满足乘法分配律。
外积满足反交换律，即：
$a \times b = - b \times a$
根据上文内积与外积的几何定义：
$\begin{aligned} | a \times b | & = | a | | b | \sin ⟨ a, b ⟩ \\ a \cdot b & = | a | | b | \cos θ \\ = | a | | b | \cos ⟨ a, b ⟩ \end{aligned}$
可以写出恒等式：
$(a \times b) \cdot (a \times b) = | a |^{2} | b |^{2} - {(a \cdot b)}^{2}$
外积满足 Jacobi 恒等式：
$a \times (b \times c) + b \times (c \times a) + c \times (a \times b) = 0$

应用

下面介绍外积运算的一些常见应用。

判定两向量是否共线：
$\exists λ \in R (a = λ b) ⟺ a \times b = 0$
即共线的两个三维向量的外积，结果为 $0$ ；三维向量与自身外积，结果为 $0$ ；三维向量与零向量外积，结果为 $0$ 。若使用外积为零作为两向量共线的定义，则可以得出零向量与任何向量都共线。
计算两向量张成的平行四边形面积：
$S ⟨ a, b ⟩ = | a \times b |$

二维向量的情形

对于二维向量，无法计算外积，但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积：

记 $a = (m, n), b = (p, q)$ ，将平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系，原平面位于新坐标系的 $x O y$ 平面，原本的坐标 $(m, n)$ 和 $(p, q)$ 变为 $(m, n, 0)$ 和 $(p, q, 0)$ 。

那么两个向量的外积为 $(0, 0, m q - n p)$ ，因此平行四边形的面积为 $| m q - n p |$ ，可以视为二阶行列式运算结果的绝对值。

此时，根据右手法则和 $z$ 坐标的符号，可以推断出 $b$ 相对于 $a$ 的方向，若在逆时针方向则 $z$ 坐标为正值，反之为负值，简记为 顺负逆正。

混合积

与外积一样，向量的混合积是 三维向量特有的运算。

定义

设 $a, b, c$ 是三维空间中的三个向量，则 $(a \times b) \cdot c$ 称为三个向量 $a, b, c$ 的混合积，记作 $[a b c]$ 或 $(a, b, c)$ 或 $(a b c)$ 或 $\det (a, b, c)$ 。混合积的绝对值 $| (a \times b) \cdot c |$ 的几何意义表示以 $a, b, c$ 为棱的平行六面体的体积。

向量的混合积可以使用三阶行列式表示：

\begin{aligned} (a \times b) \cdot c & = \det (a, b, c) \\ = | \begin{matrix} a_{x} & b_{x} & c_{x} \\ a_{y} & b_{y} & c_{y} \\ a_{z} & b_{z} & c_{z} \end{matrix} | \\ = a_{x} b_{y} c_{z} + a_{y} b_{z} c_{x} + a_{z} b_{x} c_{y} - a_{z} b_{y} c_{x} - a_{y} b_{x} c_{z} - a_{x} b_{z} c_{y} \end{aligned}

性质

混合积关于三个向量都分别线性，具体而言，有：
$\begin{aligned} \det (λ u + μ v, b, c) & = λ \det (u, b, c) + μ \det (v, b, c) \\ \det (a, λ u + μ v, c) & = λ \det (a, u, c) + μ \det (a, v, c) \\ \det (a, b, λ u + μ v) & = λ \det (a, b, u) + μ \det (a, b, v) \end{aligned}$
混合积具有反对称性，交换两个向量的位置会使混合积变成其相反数，因此有：
$\det (a, b, c) = \det (b, c, a) = \det (c, a, b) = - \det (b, a, c) = - \det (a, c, b) = - \det (c, b, a)$
据此还可以得到内积与外积有如下关系：
$(a \times b) \cdot c = a \cdot (b \times c)$

应用

向量的混合积有如下常见应用。

计算四面体 $A B C D$ 的体积：
$V = \frac{1}{6} | \det (\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}) |$
判定 $a, b, c$ 是否共面；

三个三维向量 $a, b, c$ 共面的充分必要条件是 $\det (a, b, c) = 0$ 。
判定 $a, b, c$ 构成的坐标系的手性；

混合积 $\det (a, b, c)$ 的符号是正还是负，取决于 $a \times b$ 与 $c$ 形成的夹角是锐角还是钝角，即指向 $a$ 与 $b$ 张成平面的同侧还是异侧，这相当于 $a, b, c$ 三个向量依序构成右手系还是左手系。具体而言：
- $\det (a, b, c) < 0$ 等价于 $a, b, c$ 依序构成左手系；
- $\det (a, b, c) > 0$ 等价于 $a, b, c$ 依序构成右手系。

二重外积

三维向量的混合积是内积与外积的混搭，具有轮换对称性。三维向量和三维向量的外积还是三维向量，那么外积的外积是否存在相关结论？

先证明一个引理。

(a \times b) \times a = (a \cdot a) b - (a \cdot b) a

证明：由右手定则， $a \times b$ 与 $a$ 和 $b$ 都垂直，待证等式左端与 $a \times b$ 垂直，因此待证等式左端与 $a$ 和 $b$ 共面。

因此可以假设：

(a \times b) \times a = λ a + μ b

根据混合积的相关结论，上式两端同时对于 $a$ 和 $b$ 分别做内积，有：

\begin{aligned} λ (a \cdot a) + μ (a \cdot b) & = 0 \\ λ (a \cdot b) + μ (b \cdot b) & = \det (b, a \times b, a) \\ = (a \times b) \cdot (a \times b) \end{aligned}

由前文推出的恒等式：

(a \times b) \cdot (a \times b) = | a |^{2} | b |^{2} - (a \cdot b)^{2}

可以解得：

\begin{aligned} λ & = - a \cdot b \\ μ & = a \cdot a \end{aligned}

证毕。

在上文的证明中提到， $a \times b$ 与任意向量叉乘，得到的向量与 $a$ 和 $b$ 共面。接下来证明 二重外积 的结论：

(a \times b) \times c = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a

上述共面性有助于二重外积结论的记忆。可见，上文的引理为二重外积的特殊情况。

证明：这里只需考虑三个向量均为非零且不共线的情况，其他特例为显然的。

三维向量 $a$ ， $b$ 和 $a \times b$ 不共面，因此可以假设：

c = α a + β b + γ (a \times b)

所以有：

\begin{aligned} (a \times b) \times c & = (a \times b) \times (α a + β b + γ (a \times b)) \\ = α (a \times b) \times a + β (a \times b) \times b \end{aligned}

根据上文的引理有：

\begin{aligned} (a \times b) \times a & = (a \cdot a) b - (a \cdot b) a \\ (a \times b) \times b & = - (b \times a) \times b \\ = - (b \cdot b) a + (a \cdot b) b \end{aligned}

因此有：

\begin{aligned} (a \times b) \times c & = α ((a \cdot a) b - (a \cdot b) a) + β ((a \cdot b) b - (b \cdot b) a) \\ = (α (- a \cdot b) + β (- b \cdot b)) a + (α a \cdot a + β a \cdot b) b \\ = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a \end{aligned}

证毕。

根据外积的反交换性，可以得到二重外积的两个公式：

\begin{aligned} (a \times b) \times c & = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a \\ a \times (b \times c) & = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c \end{aligned}

可见，二重外积对于运算顺序有着严格的要求。

借助混合积与二重外积，还可以证明拉格朗日的恒等式。

(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c)

证明：

\begin{aligned} (a \times b) \cdot (c \times d) & = \det (c, d, a \times b) \\ = \det (a \times b, c, d) \\ = ((a \times b) \times c) \cdot d \\ = (b (a \cdot c) - a (b \cdot c)) \cdot d \\ = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c) \end{aligned}

可见，前文的恒等式

(a \times b) \cdot (a \times b) = | a |^{2} | b |^{2} - (a \cdot b)^{2}

是拉格朗日的恒等式的特殊情形。

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