向量

在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于「vector」一词的翻译不同。

在物理学科，一般翻译成「矢量」，并且与「标量」一词相对。在数学学科，一般翻译成「向量」。这种翻译的差别还有「本征」与「特征」、「幺正」与「酉」，等等。

在 OI Wiki，主要面向计算机等工程类相关学科，与数学学科关系更近一些，因此采用「向量」这个词汇。

定义及相关概念

向量：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 $\vec{a}$ 或 $a$ 。

有向线段：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：起点，方向，长度，知道了三要素，终点就唯一确定。一般使用有向线段表示向量。

向量的模：有向线段 $\vec{A B}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： $| \vec{A B} |$ 或 $| a |$ 。

零向量：模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为： $\vec{0}$ 或 $0$ 。

单位向量：模为 $1$ 的向量称为该方向上的单位向量。一般记为 $\vec{e}$ 或 $e$ 。

平行向量：方向相同或相反的两个非零向量。记作： $a ∥ b$ 。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 共线向量。

相等向量：模相等且方向相同的向量。

相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的夹角：已知两个非零向量 $a, b$ ，作 $\vec{O A} = a, \vec{O B} = b$ ，那么 $θ = ∠ A O B$ 就是向量 $a$ 与向量 $b$ 的夹角。记作： $⟨ a, b ⟩$ 。显然当 $θ = 0$ 时两向量同向， $θ = π$ 时两向量反向， $θ = \frac{π}{2}$ 时两向量垂直，记作 $a ⟂ b$ ，并且规定 $θ \in [0, π]$ 。

注意到平面向量具有方向性，两个向量不能比较大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。

向量的线性运算

向量的加减法

在定义了一种量之后，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，从物理学的角度出发也可以研究向量的运算。

类比物理学中的位移概念，假如一个人从 $A$ 经 $B$ 走到 $C$ ，那么他经过的位移为 $\vec{A B} + \vec{B C}$ ，这其实等价于这个人直接从 $A$ 走到 $C$ ，即 $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ 。

注意到力的合成法则——平行四边形法则，同样也可以看做一些向量相加。

整理一下向量的加法法则：

向量加法的三角形法则：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
向量加法的平行四边形法则：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 交换律与结合律。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，考虑在向量做减法时也这么写。即： $a - b = a + (- b)$ 。

这样，考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段。这也是向量减法的几何意义。

有时候有两点 $A, B$ ，想知道 $\vec{A B}$ ，可以利用减法运算 $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ 获得。

向量的数乘

规定「实数 $λ$ 与向量 $a$ 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 数乘运算，记作 $λ a$ ，它的长度与方向规定如下：

$| λ a | = | λ | | a |$ ；
当 $λ > 0$ 时， $λ a$ 与 $a$ 同向，当 $λ = 0$ 时， $λ a = 0$ ，当 $λ < 0$ 时， $λ a$ 与 $a$ 方向相反。

根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：

\begin{aligned} λ (μ a) & = (λ μ) a \\ (λ + μ) a & = λ a + μ a \\ λ (a + b) & = λ a + λ b \end{aligned}

特别地：

\begin{matrix} (- λ) a = - (λ a) = - λ (a) \\ λ (a - b) = λ a - λ b \end{matrix}

判定两向量共线

两个非零向量 $a$ 与 $b$ 共线 $⟺$ 有唯一实数 $λ$ ，使得 $b = λ a$ 。

证明：由数乘的定义可知，对于非零向量 $a$ ，如果存在实数 $λ$ ，使得 $b = λ a$ ，那么 $a ∥ b$ 。

反过来，如果 $a ∥ b$ ， $a \neq 0$ ，且 $| b | = μ | a |$ ，那么当 $a$ 与 $b$ 同向时， $b = μ a$ ，反向时 $b = - μ a$ 。

最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量基本定理

定理内容：如果两个向量 $e_{1}, e_{2}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x, y)$ ，使得与 $e_{1}, e_{2}$ 共面的任意向量 $p$ 满足 $p = x e_{1} + y e_{2}$ 。

平面向量那么多，怎样用尽可能少的量表示出所有平面向量？

只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的，最多只能表示出某条直线上的向量。

再加入一个向量，用两个 不共线 向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。

在同一平面内的两个不共线的向量称为基底。如果基底相互垂直，那么在分解的时候就是对向量 正交分解。

平面向量的坐标表示

如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量 $i, j$ 作为一组基底，根据平面向量基本定理，平面上的所有向量与有序实数对 $(x, y)$ 一一对应。

而有序实数对 $(x, y)$ 与平面直角坐标系上的点一一对应，于是作 $\vec{O P} = p$ ，那么终点 $P (x, y)$ 也是唯一确定的。由于研究的对象是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

平面向量的坐标运算

平面向量线性运算

由平面向量的线性运算可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。

若两向量 $a = (m, n)$ ， $b = (p, q)$ ，则：

\begin{aligned} a + b & = (m + p, n + q) \\ a - b & = (m - p, n - q) \\ k a & = (k m, k n) \end{aligned}

求一个向量的坐标表示

已知两点 $A (a, b), B (c, d)$ ，易证 $\vec{A B} = (c - a, d - b)$ 。

平移一点

有时需要将一个点 $P$ 沿一定方向平移某单位长度，这样把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 $\vec{O P}$ 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

三点共线的判定

若 $A, B, C$ 三点共线，则 $\vec{O B} = λ \vec{O A} + (1 - λ) \vec{O C}$ 。

三点共线判定的拓展

在三角形 $A B C$ 中，若 $D$ 为 $B C$ 的 $n$ 等分点（ $n B D = k D C$ ），则有： $\vec{A D} = \frac{n}{k + n} \vec{A B} + \frac{k}{k + n} \vec{A C}$

在三维空间中的拓展（立体几何/空间向量）

在空间中，以上部分所述的所有内容均成立。更有：

空间向量基本定理

定理内容：如果三个向量 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 不共面，那么存在唯一实数对 $(x, y, z)$ ，使得空间中任意向量 $p$ 满足 $p = x e_{1} + y e_{2} + z e_{3}$ 。根据空间向量基本定理，我们同样可以使用三个相互垂直的基底 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 作为正交基底，建立 空间直角坐标系 并用一个三元组 $(x, y, z)$ 作为坐标表示空间向量。

共面向量基本定理

如果存在两个不共线的向量 $x, y$ , 则向量 $p$ 与 $x, y$ 共面的充要条件是存在唯一实数对 $(a, b)$ 使得 $p = a x + b y$ 。

方向向量

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量 完全确定。

注意，平面中的直线也有方向向量。

对于空间中的直线，对其方向向量有以下求法：

若有 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1}), B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则 $A B$ 所在直线的一个方向向量为 $s = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$ 。
若已知一个与所求直线垂直的平面，该平面一般方程为 $a x + b y + c z + d = 0$ ，那么垂直于该平面的直线的一个方向向量为 $s = (a, b, c)$ ，该方向向量也是该平面的 一个法向量。

法向量

对于一个面 $A B C D$ ，其法向量 $n$ 与这个面垂直。

计算方法：任取两个面内直线 $\vec{A B}, \vec{A D}$ ，使得 $\vec{A B} \cdot n = 0$ 且 $\vec{A D} \cdot n = 0$ ，利用坐标法即可计算。

向量与矩阵

线性代数中，线性变换可以用矩阵表示。令 $T$ 表示一个将 $R^{n}$ 映射到 $R^{m}$ 的线性变换， $x$ 表示一个 $n$ 维列向量，则存在一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，使得

T (x) = A x .

矩阵 $A$ 称为线性变换 $T$ 的变换矩阵。在算法问题中，一般情况下线性变换在相同维度下进行，因此 $A$ 是一个方阵。这样，对向量的线性变换问题可以转化为矩阵乘法问题。

接下来我们探讨三种竞赛中较为常见的变换与其对应的变换矩阵：放缩变换（变换矩阵用 $S$ 表示）、旋转变换（变换矩阵用 $R$ 表示）和平移变换（变换矩阵用 $T$ 表示）。

放缩变换

对于 $n$ 维列向量 $a$ ，将其每一维放缩 $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ 倍。很容易发现放缩操作的变换矩阵 $R$ 是 $n \times n$ 的对角矩阵，即 $S = diag {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 。

旋转变换

向量的旋转是相对复杂的操作，我们仅限于讨论二维和三维的情况。

向量绕点旋转

对于向量绕点旋转，一般指的是向量绕原点旋转。对于某一点绕另一点 $P$ 旋转，可以利用平移变换使得点 $P$ 位于原点，进行向量旋转后再将坐标系平移回原位置即可。设平移操作的变换矩阵为 $T$ ，绕原点旋转操作的变换矩阵为 $R$ ，则整个过程的变换矩阵为 $T R T^{- 1}$ 。根据几何意义， $T^{- 1}$ 一定存在。

对于二维空间，设 $a = (x, y)$ ，倾角为 $θ$ ，长度为 $l = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 。则 $x = l \cos θ, y = l \sin θ$ 。令其绕原点逆时针旋转 $α$ 角，得到向量 $b = (l \cos (θ + α), l \sin (θ + α))$ 。

由三角恒等变换得，

b = (l (\cos θ \cos α - \sin θ \sin α), l (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α))

化简，

b = (l \cos θ \cos α - l \sin θ \sin α, l \sin θ \cos α + l \cos θ \sin α)

把上面的 $x, y$ 代回来得

b = (x \cos α - y \sin α, y \cos α + x \sin α)

因此二维空间下，变换矩阵 $R$ 为

R = [\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}] .

对于三维空间，向量旋转需要使用两个角度参量，即天顶角旋转角度与方向角旋转角度，可以利用空间球坐标系进行旋转操作。

向量绕直线旋转

对于三维向量，更常见的的是绕某直线旋转。同样为了方便，此直线是过原点的。如果直线不过原点，我们仍可以平移坐标系进行转化。

取直线的方向向量 $u = (u_{x}, u_{y}, u_{z})$ ，设三维向量绕其逆时针旋转 $θ$ 角。则对应的变换矩阵 $R$ 为¹

R = [\begin{matrix} u_{x}^{2} (1 - \cos θ) + \cos θ & u_{x} u_{y} (1 - \cos θ) - u_{z} \sin θ & u_{x} u_{z} (1 - \cos θ) + u_{y} \sin θ \\ u_{x} u_{y} (1 - \cos θ) + u_{z} \sin θ & u_{y}^{2} (1 - \cos θ) + \cos θ & u_{y} u_{z} (1 - \cos θ) - u_{x} \sin θ \\ u_{x} u_{z} (1 - \cos θ) - u_{y} \sin θ & u_{y} u_{z} (1 - \cos θ) + u_{x} \sin θ & u_{z}^{2} (1 - \cos θ) + \cos θ \end{matrix}] .

平移变换

平移变换并非线性变换，而是仿射变换。但 $R^{n}$ 下的仿射变换仍可以用 $R^{n + 1}$ 下的线性变换表示。

考虑 $n$ 维向量 $a = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，现在要将其沿向量 $t = (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n})$ 平移。我们对列向量 $a$ 添加一维并置为 $1$ ，得到新列向量 $a^{'} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, 1)$ 。则变换矩阵 $T$ 可以写作

T = [\begin{matrix} 1 & t_{1} \\ 1 & t_{2} \\ ⋱ & ⋮ \\ 1 & t_{n} \\ 1 \end{matrix}] .

对于其他线性变换矩阵，在矩阵中增加一列与一行，除右下角的元素为 $1$ 外其它部分填充为 $0$ ，通过这种方法，所有的线性变换矩阵都可以转换为仿射变换矩阵。例如，对于二维向量旋转，变换矩阵可以变为

R^{'} = [\begin{matrix} \cos α & - \sin α & 0 \\ \sin α & \cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

向量的更严格定义

上文中，向量被定义为了空间中的有向线段。但是严格来说，向量不仅是有向线段。要作出向量的更严格定义，需要先定义线性空间，具体内容参见线性空间页面的介绍。

参见 Rotation matrix from axis and angle - Wikipedia ↩

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