数值积分

定积分的定义

简单来说，函数 $f (x)$ 在区间 $[l, r]$ 上的定积分 $\int_{l}^{r} f (x) d x$ 指的是 $f (x)$ 在区间 $[l, r]$ 中与 $x$ 轴围成的区域的面积（其中 $x$ 轴上方的部分为正值， $x$ 轴下方的部分为负值）。

很多情况下，我们需要高效，准确地求出一个积分的近似值。下面介绍的 辛普森法，就是这样一种求数值积分的方法。

辛普森法

这个方法的思想是将被积区间分为若干小段，每段套用二次函数的积分公式进行计算。

二次函数积分公式（辛普森公式）

对于一个二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，有：

\int_{l}^{r} f (x) d x = \frac{(r - l) (f (l) + f (r) + 4 f (\frac{l + r}{2}))}{6}

推导过程：对于一个二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ；求积分可得 $F (x) = \int_{0}^{x} f (x) d x = \frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{2} x^{2} + c x + D$ 在这里 D 是一个常数，那么

\begin{aligned} \int_{l}^{r} f (x) d x & = F (r) - F (l) \\ = \frac{a}{3} (r^{3} - l^{3}) + \frac{b}{2} (r^{2} - l^{2}) + c (r - l) \\ = (r - l) (\frac{a}{3} (l^{2} + r^{2} + l r) + \frac{b}{2} (l + r) + c) \\ = \frac{r - l}{6} (2 a l^{2} + 2 a r^{2} + 2 a l r + 3 b l + 3 b r + 6 c) \\ = \frac{r - l}{6} ((a l^{2} + b l + c) + (a r^{2} + b r + c) + 4 (a (\frac{l + r}{2})^{2} + b (\frac{l + r}{2}) + c)) \\ = \frac{r - l}{6} (f (l) + f (r) + 4 f (\frac{l + r}{2})) \end{aligned}

根据这个辛普森公式，我们先介绍一种普通的辛普森积分法。

普通辛普森法

1743 年，这种方法发表于托马斯·辛普森的一篇论文中。

描述

给定一个自然数 $n$ ，将区间 $[l, r]$ 分成 $2 n$ 个等长的区间 $x$ 。

$x_{i} = l + i h, i = 0 \dots 2 n,$ $h = \frac{r - l}{2 n} .$

我们就可以计算每个小区间 $[x_{2 i - 2}, x_{2 i}]$ ， $i = 1 \dots n$ 的积分值，将所有区间的积分值相加即为总积分。

对于 $[x_{2 i - 2}, x_{2 i}]$ ， $i = 1 \dots n$ 的一个区间，选其中的三个点 $(x_{2 i - 2}, x_{2 i - 1}, x_{2 i})$ 就可以构成一条抛物线从而得到一个函数 $P (x)$ ，这个函数存在且唯一。计算原函数在该区间的积分值就变成了计算新的二次函数 $P (x)$ 在该段区间的积分值。这样我们就可以利用辛普森公式来近似计算它。

$\int_{x_{2 i - 2}}^{x_{2 i}} f (x) d x \approx \int_{x_{2 i - 2}}^{x_{2 i}} P (x) d x = (f (x_{2 i - 2}) + 4 f (x_{2 i - 1}) + (f (x_{2 i})) \frac{h}{3}$

将其分段求和即可得到如下结论：

$\int_{l}^{r} f (x) d x \approx (f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 4 f (x_{3}) + 2 f (x_{4}) + \dots + 4 f (x_{2 N - 1}) + f (x_{2 N})) \frac{h}{3}$

误差

我们直接给出结论，普通辛普森法的误差为：

- \frac{1}{90} {(\frac{r - l}{2})}^{5} f^{(4)} (ξ)

其中 $ξ$ 是位于区间 $[l, r]$ 的某个值。

实现

C++Python

constexpr int N = 1000 * 1000;

double simpson_integration(double a, double b) {
  double h = (b - a) / N;
  double s = f(a) + f(b);
  for (int i = 1; i <= N - 1; ++i) {
    double x = a + h * i;
    s += f(x) * ((i & 1) ? 4 : 2);
  }
  s *= h / 3;
  return s;
}

N = 1000 * 1000


def simpson_integration(a, b):
    h = (b - a) / N
    s = f(a) + f(b)
    for i in range(1, N):
        x = a + h * i
        if i & 1:
            s = s + f(x) * 4
        else:
            s = s + f(x) * 2
    s = s * (h / 3)
    return s

自适应辛普森法

普通的方法为保证精度在时间方面无疑会受到 $n$ 的限制，我们应该找一种更加合适的方法。

现在唯一的问题就是如何进行分段。如果段数少了计算误差就大，段数多了时间效率又会低。我们需要找到一个准确度和效率的平衡点。

我们这样考虑：假如有一段图像已经很接近二次函数的话，直接带入公式求积分，得到的值精度就很高了，不需要再继续分割这一段了。

于是我们有了这样一种分割方法：每次判断当前段和二次函数的相似程度，如果足够相似的话就直接代入公式计算，否则将当前段分割成左右两段递归求解。

现在就剩下一个问题了：如果判断每一段和二次函数是否相似？

我们把当前段直接代入公式求积分，再将当前段从中点分割成两段，把这两段再直接代入公式求积分。如果当前段的积分和分割成两段后的积分之和相差很小的话，就可以认为当前段和二次函数很相似了，不用再递归分割了。

上面就是自适应辛普森法的思想。在分治判断的时候，除了判断精度是否正确，一般还要强制执行最少的迭代次数。

参考代码如下：

C++Python

double simpson(double l, double r) {
  double mid = (l + r) / 2;
  return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6;  // 辛普森公式
}

double asr(double l, double r, double eps, double ans, int step) {
  double mid = (l + r) / 2;
  double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);
  if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps && step < 0)
    return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;  // 足够相似的话就直接返回
  return asr(l, mid, eps / 2, fl, step - 1) +
         asr(mid, r, eps / 2, fr, step - 1);  // 否则分割成两段递归求解
}

double calc(double l, double r, double eps) {
  return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12);
}

def simpson(l, r):
    mid = (l + r) / 2
    return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6  # 辛普森公式


def asr(l, r, eps, ans, step):
    mid = (l + r) / 2
    fl = simpson(l, mid)
    fr = simpson(mid, r)
    if abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps and step < 0:
        return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15  # 足够相似的话就直接返回
    return asr(l, mid, eps / 2, fl, step - 1) + asr(
        mid, r, eps / 2, fr, step - 1
    )  # 否则分割成两段递归求解


def calc(l, r, eps):
    return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12)

习题

参考资料

https://doi.org/10.1145/321526.321537：该文章讨论了自适应 Simpson 法的改进方案，其中详细论述了上文代码中的常数 15 的由来与优势。

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